Question

設函數，
（1）證明：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1；
（2）點P （x，y） （0＜x＜1 ）在曲線y=f（x）上，求曲線在點P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達式（用x表達）．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）中含有絕對值，按x≥1和x＜1兩段去絕對值，易判f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是單調函數，
由f（a）=f（b）可得a＜1，b＞1，代入f（x）中可得a和b的關系．
（2）曲線在點P處的切線斜率為f′（x），由點斜式寫出切線方程，分別令x=0和y=0求出切線與兩坐標軸的交點，
再用三角形面積公式求面積．
解答：證明：（I）∵
故f（x）在（0，1]上是減函數，而在（1，+∞）上是增函數，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和
故
（II）0＜x＜1時，
曲線y=f（x）在點P（x，y）處的切線方程為：
∴切線與x軸、y軸正向的交點為
故所求三角形面積聽表達式為：
點評：本題考查含有絕對值的函數問題、基本不等式、導數、切線等知識，綜合性強，考查對知識的運用能力．