Question

已知函數f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數），且函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）+g（x）的單調遞增區間；
（3）若n為正整數，證明：10f( n )•( 

4

5

 )g( n )＜4．

Answer 1

分析：（1）由題意知，f（0）=g（0），解出a的值．
（2）分類討論的方法化簡f（x）+g（x）的解析式，再求出他們的單調增區間．
（3）把不等式的左邊看成是一個數列，分析此數列的變化規律是c₁≤c₂≤c₃≤c₄，而c₄＞c₅＞c₆＞…，故左邊的最大值是c₄，而c₄＜4，不等式得到證明．

解答：解：（1）由題意，f（0）=g（0），
|a|=1又a＞0，
所以a=1．
（2）f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
當x≥1時，f（x）+g（x）=x²+3x，它在[1，+∞）上單調遞增；
當x＜1時，f（x）+g（x）=x²+x+2，它在[ -

1

2

， 1 )上單調遞增．
（3）設cn=10f( n )•( 

4

5

 )g( n )，考查數列{c_n}的變化規律：
解不等式

cn+1

cn

＜1，由c_n＞0，上式化為10•( 

4

5

 )2n+3＜1
解得n＞

1

2lg0.8

-

3

2

≈3.7，因n∈N得n≥4，于是，c₁≤c₂≤c₃≤c₄，而c₄＞c₅＞c₆＞…
所以，10f( n )•( 

4

5

 )g( n )≤10f( 4 )•( 

4

5

 )g( 4 )=103•( 

4

5

 )25＜4．

點評：本題考查函數的單調性和單調區間，及不等式的證明．