Question

(本小題滿分11分)對于定義域為D的函數，如果存在區間，同時滿足：

①在內是單調函數；

②當定義域是時，的值域也是．

則稱是該函數的“和諧區間”．

（1）證明：是函數的一個“和諧區間”．

（2）求證：函數不存在“和諧區間”．

（3）已知函數（）有“和諧區間”，當變化時，求出的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）區間是的一個“和諧區間”．

（2）函數不存在“和諧區間”．

（3）當時，取最大值.

【解析】本試題主要是結合了函數的單調性和函數的定義域和值域的有關系概念，對于新定義“和諧區間”的理解和靈活的運用。

（1）在區間上單調遞增，并且滿足第二點又，，值域為，故得到結論。

（2）假設存在一個區間滿足題意，利用反比列函數的性質可知，沒有和諧區間。

（3）根據已知條件可知，函數存在和諧區間，那么可以設出區間，再分析函數的單調性，得到定義域和值域的關系，進而得到結論。

解：（1）在區間上單調遞增．

又，，值域為，

區間是的一個“和諧區間”．…………2分

（2）設是已知函數定義域的子集．，或，故函數在上單調遞增．

若是已知函數的“和諧區間”，則

故、是方程的同號的相異實數根．

無實數根，函數不存在“和諧區間”．………………5分

（3）設是已知函數定義域的子集．，或，故函數在上單調遞增．

若是已知函數的“和諧區間”，則

故、是方程，即的同號的相異實數根．

，，同號，只須，即或時，已知函數有“和諧區間”，，

當時，取最大值………………11分