Question

雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為

3 5

的直線交雙曲線于P、Q兩點．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：先由題意設出雙曲線的標準方程及直線的點斜式方程，然后聯立方程組消去y得x的方程，再根據二次項系數是否為零進行討論．若5b²-3a²=0，可推出矛盾；若5b²-3a²≠0，設其兩根為x₁，x₂，則由根與系數的關系可利用a、b、c表示出x₁+x₂及x₁x₂，進一步由OP⊥OQ即斜率乘積為-1得a、b、c的等式，又|PQ|=4得a、b、c的另一等式，且c²=a²+b²，最后解a、b、c的方程組即可．

解答：解：設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
依題意知，點P，Q的坐標滿足方程組

x2 a2 - y2 b2 =1 y= 3 5 (x-c)  (其中c= a2+b2 )

整理得（5b²-3a²）x²+6a²cx-（3a²c²+5a²b²）=0 ①．
若5b²-3a²=0，則

b

a

=

3 5

，即直線與雙曲線的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個交點同，與題設矛盾，所以5b²-3a²≠0．
設方程①的兩個根為x₁，x₂，則有
x1+x2=

6a2c

5b2-3a2

②，x1x2=-

3a2c2+5a2b2

5b2-3a2

③，
由于P、Q在直線y=

3 5

（x-c）上，可記為
P（x₁，

3 5

（x₁-c）），Q（x₂，

3 5

（x₂-c））．
由OP⊥OQ得

3 5 (x1-c)

x1

•

3 5 (x2-c)

x2

=-1，
整理得3c（x₁+x₂）-8x₁x₂-3c²=0  ④．
將②，③式及c²=a²+b²代入④式，并整理得
3a⁴+8a²b²-3b⁴=0，即（a²+3b²）（3a²-b²）=0．
因為a²+3b²≠0，解得b²=3a²，
所以c=

a2+b2

=2a．
由|PQ|=4，得（x₂-x₁）²+[

3 5

（x₂-c）-

3 5

（x₁-c）]²=4²．
整理得（x₁+x₂）²-4x₁x₂-10=0  ⑤．
將②，③式及b²=3a²，c=2a代入⑤式，解得a²=1．
將a²=1代入b²=3a²得b²=3．
故所求雙曲線方程為x²-

y2

3

=1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程及直線與圓錐曲線的位置關系，綜合性強，字母運算能力是一大考驗．