Question

已知函數f(x)=3x-

1

3|x|

．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[

1

2

，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x≤0時得到f（x）=0而f（x）=2，所以無解；當x＞0時解出f（x）=2求出x即可；
（2）由t∈[

1

2

，1]時，3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=3t-

1

3t

，代入得到m的范圍即可．

解答：解（1）當x＜0時，f（x）=3^x-3^x=0，
∴f（x）=2無解；
當x＞0時，f(x)=3x-

1

3x

，3x-

1

3x

=2，
∴（3^x）²-2•3^x-1=0，
∴3x=1±

2

．
∵3^x＞0，
∴3x=1-

2

（舍）．
∴3x=1+

2

，
∴x=log3(

2

+1)．
（2）∵t∈[

1

2

，1]，
∴f(t)=3t-

1

3t

＞0，
∴3t(32t-

1

32t

)+m(3t-

1

3t

)＞0．
∴3t(3t+

1

3t

)+m＞0，
即t∈[

1

2

，1]時m＞-3^2t-1恒成立
又-3^2t-1∈[-10，-4]，
∴m＞-4．
∴實數m的取值范圍為（-4，+∞）．

點評：考查學生理解函數恒成立的條件，以及會根據條件求函數值的能力．