Question

【題目】如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如圖所示的空間直角坐標系O—xyz．

（1）若t＝1，求異面直線AC1與A1B所成角的大小；

（2）若t＝5，求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值；

（3）若二面角A1—BD—C的大小為120°，求實數t的值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）先根據坐標表示向量，，再利用向量數量積求向量夾角，即得異面直線與所成角，（2）先利用方程組解得平面的一個法向量，利用向量數量積得向量夾角余弦值，再根據線面角與向量夾角互余關系得結果，（3）先利用方程組解得平面以及平面的一個法向量，利用向量數量積得法向量夾角余弦值，再根據二面角與向量夾角相等或互補關系得結果.

詳解：（1）當時，，，，，，

則，

，

故，

所以異面直線與所成角為．

（2）當時，，，，，，

則，，

設平面的法向量，

則由得，

不妨取，則， 此時，

設與平面所成角為，因為，

則，

所以與平面所成角的正弦值為．

（3）由得，，，

設平面的法向量，

則由得，

不妨取，則， 此時，

又平面的法向量，

故，解得，

由圖形得二面角大于，所以符合題意．

所以二面角的大小為，的值為．