Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）求證：函數和在公共定義域內，恒成立；

（3）若存在兩個不同的實數，，滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）增區間為,減區間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）構造函數，對函數求導，得到得到導函數的正負，進而得到單調區間和極值；（2）構造函數,對函數和求導研究函數的單調性進而得到函數的最值，使得最小值大于2即可；（3）要證原式只需要證，故得到即證：，變量集中設即可,轉化為關于t的不等式.

詳解：

(1)函數的定義域為,,

故當時,,當時,,

故函數的單調增區間為,單調減區間為;

(2)證明:函數和的公共定義域為,

,

設,則在上單調遞增,故;

設,當時有極大值點,

;故;

故函數和在公共定義域內,.

(3)證明:不妨設,由題意得,

,;所以;

而要證,只需證明;

即證明;即證明;

即證明,;令,則;

即證明;設;

則,故函數在區間上是增函數,

所以,即;所以不等式成立.