Question

已知函數f(x)=1-

2

3x+1

，
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）用單調性定義證明：函數f（x）在其定義域上都是增函數；
（3）解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）要求函數定義域，只需分母不為0；
（2）設x₁＜x₂，利用作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（3）先判斷函數的奇偶性，根據函數的奇偶性、單調性去掉不等式中的符號“f”，轉化為二次不等式可解；

解答：（1）解：因為3^x+1＞0，
所以函數f（x）的定義域為R；
（2）證明：設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

3x1+1

）-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
因為x₁＜x₂，所以3x1-3x2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在其定義域上都是增函數；
（3）因為f（-x）+f（x）
=（1-

2

3-x+1

）+（1-

2

3x+1

）
=2-

2•3x

1+3x

-

2

3x+1

=2-

2(3x+1)

3x+1

=2-2=0，
所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數，
所以f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．可化為f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），
由（2）知f（x）為R上的增函數，
所以3m²-m+1＜3-2m，即3m²+m-2＜0，解得-1＜m＜

2

3

，
所以不等式的解集為（-1，

2

3

）．

點評：本題考查函數的定義域、奇偶性、單調性的判斷，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．