Question

已知a、b、c∈（0，+∞），且a+b+c=1，則（a+

1

a

）+（b+

1

b

）+（c+

1

c

）的最小值為

10

．

Answer 1

分析：把1=a+b+c代入要求的式子，再利用基本不等式的性質即可求出最小值．

解答：解：∵a、b、c∈（0，+∞），（a+

1

a

）+（b+

1

b

）+（c+

1

c

）=（a+

a+b+c

a

）+（b+

a+b+c

b

）+（c+

a+b+c

c

）
=4+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

）≥4+2+2+2=10，當且僅當a=b=c=

1

3

時取等號．
∴（a+

1

a

）+（b+

1

b

）+（c+

1

c

）的最小值10．
故答案為10．

點評：把1代入要求的式子及利用基本不等式的性質是解題的關鍵．