Question

18．已知數列{a_n}的前n項和為${S_n}={2^{n+1}}-2$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_n•log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過${S_n}={2^{n+1}}-2$與S_n-1=2ⁿ-2（n≥2）作差可知a_n=2ⁿ，進而驗證當n=1時是否成立即可；
（2）通過（1）可知b_n=n•2ⁿ，進而利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（1）因為${S_n}={2^{n+1}}-2$，
所以S_n-1=2ⁿ-2（n≥2），
兩式相減得：a_n=2ⁿ，
又因為a₁=S₁=2滿足上式，
所以${a_n}={2^n}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
所以T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．