Question

【題目】設圓的圓心為A，直線過點B（1,0）且與x軸不重合，設P為圓A上一點，線段PB的垂直平分線交直線PA于E

（1）證明為定值，并寫出E的軌跡方程；

（2）設點M的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點，問：在軸上是否存在定點D使直線DM與DN的傾斜角互補，若存在求出D點的坐標，否則說明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在使直線DM與DN的傾斜角互補.

【解析】

(1)由橢圓的定義可判斷出點E的軌跡，進而可求出軌跡方程；

(2)先由題意設直線方程為，與橢圓方程聯立，由根與系數關系，以及直線DM與DN的傾斜角互補，即可求出結果.

（I）∵E為線段PB的垂直平分線上一點，∴

∴>

∴點E的軌跡是以A,B為焦點的橢圓，2a=4.c=1, ∴

E的軌跡方程。

（II）由于直線過點B（1,0）且與x軸不重合，所以可設方程為

聯立消去x得 ，

設 ，則

令,若直線DM與DN的傾斜角互補，則

,

∴ ∴

即∴

∴∴∴

所以存在使直線DM與DN的傾斜角互補.