Question

如圖，已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等，如果它們的面是全等的三角形，把它們拼起來，使一個表面重合，所得的多面體有多少個面?

 

Answer 1

答案：
解析：

分析  正四面體和正八面體的一個表面重合，那么就要討論正四面體的其他三個面與正八面體的其他面有何關系，為此我們要來求一下正四面體與正八面體相鄰的兩個面所成二面角的大小．為此，只要分別求出正八面體相鄰兩個側面所成二面角大小和正四面體相鄰兩個側面所成二面角大小就可以了． 解  正八面體ABCDEF中，BE中點為G，AF平面BCDE＝O，連接AG、FG、OG． 　　∵  AF⊥平面BCDE， 　　∴  OG是AG、FG在平面BCDE的射影． 　　∵  BE⊥OG 　　∴  ∠AGF是二面角A—BE—F的平面角． 　　Rt△AOG中，OG＝，，． 　　cos∠AGF＝cos2∠AGO＝2∠AGO－1＝． 　　正八面體相鄰側面所成二面角為p －arccos，正四面體P—QRS中，T是PS中點． 　　∠QTR是二面角Q－PS－R的平面角． 　　△QRT中，QT＝RT＝， 　　cos∠QTR＝ 　　          　　當把PSQ面與BEF面重疊，PS與BE重合，點G與T重合，∠AGF＋∠QTR＝p ，ABE面與RPS面拼成一個平面．同理，PQS面與DEF面，RPQ面與BCF面都分別拼成一個平面．因此正八面體與正四面體拼成的一個多面體是七面體．