Question

（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，⊙O₁與⊙O₂交于M、N兩點(diǎn)，直線AE與這兩個(gè)圓及MN依次交于A、B、C、D、E．
求證：AB•CD=BC•DE．

Answer 1

解：∵在圓O₁中，AD、MN相交于點(diǎn)C，
∴根據(jù)相交弦定理，得AC•CD=MC•CN．
同理在圓O₂中有BC•CE=MC•CN，
∴AC•CD=BC•CE…（5分）
即（AB+BC）•CD=BC•（CD+DE），
得AB•CD+BC•CD=BC•CD+BC•DE，
∴AB•CD=BC•DE …（10分）
分析：分別在圓O₁中和圓O₂中，運(yùn)用相交弦定理，可得出AC•CD=BC•CE，再將AC=AB+BC和CE=CD+DE代入，化簡(jiǎn)整理即可得到AB•CD=BC•DE．
點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)相交的圓，求證線段的乘積相等，著重考查了兩圓相交的性質(zhì)和相交弦定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．