Question

選修4-1：幾何證明選講
已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）利用AD平分∠EAC，可得∠EAD=∠DAC，利用四邊形AFBC內接于圓，可得∠DAC=∠FBC，由此可知FB=FC；
（2）利用AB是圓的直徑，可得∠ACD=90°，結合∠EAC=120°，可得∠DAC=

1

2

∠EAC=60°，∠D=30°，從而利用特殊角的三角函數，即可求得AD的長．

解答：（1）證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；
∵四邊形AFBC內接于圓，∴∠DAC=∠FBC； …（3分）
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC．…（5分）
（2）解：∵AB是圓的直徑，∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°，∴∠DAC=

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2

∠EAC=60°，∠D=30°…（7分）
在Rt△ACB中，∵BC=6，∠BAC=60°∴AC=2

3

又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=2

3

，
∴AD=4

3

 …（10分）

點評：本題考查幾何證明選講，考查圓的性質，屬于基礎題．