Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O為△ABC的外接圓，且AB=AC，過點A的直線交圓O于點D，交BC的延長線于點F，DE是BD的延長線，連接CD．
（Ⅰ）求證：∠EDF=∠CDF；
（Ⅱ）求證：AB²=AF•AD．

Answer 1

分析：（1）由∠EDF=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∠CDF=∠ABC，AB=AC，能夠證明∠EDF=∠CDF．
（2）由∠ADC+∠ABC=180°，∠ACF+∠ACB=180°，知∠ADC=∠ACF，故△ADC≌△ACF，由此能夠證明AB²=AD•AF．

解答：解：（1）∵∠EDF=∠ADB，
∠ADB=∠ACB，
∠CDF=∠ABC，AB=AC，
∴∠EDF=∠CDF；
（2）∵∠ADC+∠ABC=180°，
∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠ADC=∠ACF，
∴△ADC∽△ACF，
∴

AC

AF

=

AD

AC

，
AC²=AD•AF，
∴AB²=AD•AF．

點評：本題考查與圓有關的比例線段的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．