Question

（本小題共14分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，，. 以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點.
（1）求證：平面⊥平面；      
（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

(1)略
(2)

解：（1）依題設知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC。
又因為P A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面ＰＡＤ，則CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD。
（2）由（1）知，，又，則是的中點可得
，
則
設D到平面ACM的距離為，由即，
可求得，
設所求角為，則。