Question

2．如圖，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．  
（1）求證：AB⊥平面ADE；
（2）求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出AE⊥CD，CD⊥AD，從而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能證明AB⊥平面ADE．
（2）由AB⊥平面ADE，能求出三棱錐B-ADE的體積．再由V_A-BDE=V_B-ADE，能求出點A到平面BDE的距離．

解答 解：（1）證明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）
（2）由于（1）得AB⊥AE，∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{3}$，
得DE²+BE²=BD²，∴△BDE是直角△．
V_B-ADE=V_A-BDE 即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×AE×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×BE×d$，得d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．