Question

（．(本題滿分12分)
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” （、、），
（I）證明：只要，無論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（II）在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記直線的斜率為，
（i）求證：；
（ii）對(duì)于“偽二次函數(shù)”，是否有（i）同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（I）如果為增函數(shù),
則(1)恒成立, 
當(dāng)時(shí)恒成立, (2)由二次函數(shù)的性質(zhì), (2)不可能恒成立.
則函數(shù)不可能總為增函數(shù).  --------3分
（II）（i） =.  
由, 則--------5分
（ii）不妨設(shè),對(duì)于“偽二次函數(shù)”:

=,       (3)            --------7分
由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質(zhì)，則 , (4)
比較(3)( 4)兩式得，
即：，(4)              --------10分
不妨令，    (5)
設(shè)，則，
∴在上遞增， ∴.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.          
∴“偽二次函數(shù)”不具有(ⅰ)的性質(zhì). -------12分

略