Question

已知某種從太空飛船中帶回的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為

1

3

，某植物研究所分2個小組分別獨(dú)立開展該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一粒種子，如果某次沒有發(fā)芽，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的．
（1）第一小組做了3次實(shí)驗(yàn)，記該小組試驗(yàn)成功的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）第二小組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共3有次失敗的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．
（2）第二小組第7次試驗(yàn)成功，前面6次試驗(yàn)中有3次失敗，由此利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式，能求出在第4次成功之前共3有次失敗的概率．

解答：解：（1）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P(ξ=0)=

C

0 3

(1-

1

3

)3=

8

27

，
P(ξ=1)=

C

1 3

(

1

3

)1(1-

1

3

)2=

4

9

，
P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)1=

2

9

，
P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

，
∴ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3
p	8 27	4 9	2 9	1 27

（6分）
因此Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．（8分）
（2）第二小組第7次試驗(yàn)成功，
前面6次試驗(yàn)中有3次失敗，
因此所求概率P=

C

3 6

(

1

3

)3•(

2

3

)3•

1

3

=

160

2187

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型．解題時要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式的靈活運(yùn)用．