Question

給定橢圓．稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．

(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；

(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

 

Answer 1

(1) ； (2) 垂直．

【解析】

試題分析：（1）由“橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為”知：從而可得橢圓的標準方程和“準圓”的方程；

（2）分兩種情況討論：①當中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．

對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；

對于②設經過準圓上點與橢圓只有一個公共點的直線為

與橢圓方程聯立組成方程組消去得到關于的方程：

由化簡整理得：

而直線的斜率正是方程的兩個根，從而

試題解析：（1）

橢圓方程為

準圓方程為

（2）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個共公點，則其方程為

當方程為時，此時與準圓交于點

此時經過點（或）且與橢圓只有一個公共瞇的直線是（或）

即為（或），顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線也垂直．

②當都有斜率時，設點其中

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為

則由消去，得

由化簡整理得：

因為，所以有

設的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點

所以滿足上述方程

所以，即垂直,

綜合①②知, 垂直．

考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與圓錐曲線的綜合問題．