Question

（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc
（Ⅱ）求證：

7

-

6

＜

5

-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據a²+b²≥2ab，c＞0得到c（a²+b²）≥2abc；同理可得b（a²+c²）≥2abc；a（b²+c²）≥2abc；再根據同向不等式可以相加的性質即可證明不等式．
（Ⅱ）采用分析法來證，先把不等式轉化為：

7

+2＜

6

+

5

，兩邊平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵a²+b²≥2ab，c＞0
∴c（a²+b²）≥2abc，
同理可得：b（a²+c²）≥2abc；
a（b²+c²）≥2abc．
上面三個不等式相加可得：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
原命題得證．
（Ⅱ）要證：

7

-

6

＜

5

-2．
即證：

7

+2＜

6

+

5

，
只須證：11+2

28

＜11+2

30

轉化為證：

28

＜

30

而上式恒成立．
所以原命題得證．

點評：本題主要考查不等式的證明．第二問的證明用到了分析法，分析法是從要證明的結論出發，一步步向前推，得到一個恒成立的不等式，或明顯成立的結論即可．