Question

5．（1）已知雙曲線與橢圓$\frac{y^2}{49}+\frac{x^2}{24}$=1共焦點，且以y=±$\frac{4}{3}$x為漸近線，求雙曲線方程．
（2）已知橢圓經過點A（0，$\frac{5}{3}$）和B（1，1），求橢圓標準方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的漸近線方程，設出雙曲線的方程$\frac{{y}^{2}}{16λ}-\frac{{x}^{2}}{9λ}=1$，由雙曲線的性質即可求得λ=1，即可求得雙曲線方程．
（2）由題意設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，將A和B代入橢圓方程，即可求得m和n的值，求得橢圓標準方程．

解答 解：（1）橢圓的焦點在y軸上，焦點坐標為（0，-5），（0，5），
由c=5，
由y=±$\frac{4}{3}$x為漸近線的雙曲線方程：$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=λ$（λ≠0），
則雙曲線的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{16λ}-\frac{{x}^{2}}{9λ}=1$，
∴16λ+9λ=25，
故答案為：λ=1，
雙曲線方程$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$；
（2）由題意可知：設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，
橢圓經過點A（0，$\frac{5}{3}$），B（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{9n}=1}\\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{25}{9}}\\{m=\frac{25}{16}}\end{array}\right.$，
橢圓標準方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{16}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{25}{9}}=1$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的標準方程及簡單性質，考查雙曲線的離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．