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5.(1)已知雙曲線與橢圓$\frac{y^2}{49}+\frac{x^2}{24}$=1共焦點,且以y=±$\frac{4}{3}$x為漸近線,求雙曲線方程.
(2)已知橢圓經過點A(0,$\frac{5}{3}$)和B(1,1),求橢圓標準方程.

分析 (1)由題意求得雙曲線的焦點坐標,由雙曲線的漸近線方程,設出雙曲線的方程$\frac{{y}^{2}}{16λ}-\frac{{x}^{2}}{9λ}=1$,由雙曲線的性質即可求得λ=1,即可求得雙曲線方程.
(2)由題意設橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$,將A和B代入橢圓方程,即可求得m和n的值,求得橢圓標準方程.

解答 解:(1)橢圓的焦點在y軸上,焦點坐標為(0,-5),(0,5),
由c=5,
由y=±$\frac{4}{3}$x為漸近線的雙曲線方程:$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=λ$(λ≠0),
則雙曲線的標準方程:$\frac{{y}^{2}}{16λ}-\frac{{x}^{2}}{9λ}=1$,
∴16λ+9λ=25,
故答案為:λ=1,
雙曲線方程$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$;
(2)由題意可知:設橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$,
橢圓經過點A(0,$\frac{5}{3}$),B(1,1),
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{9n}=1}\\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1}\end{array}\right.$解得:$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{25}{9}}\\{m=\frac{25}{16}}\end{array}\right.$,
橢圓標準方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{16}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{25}{9}}=1$.

點評 本題考查橢圓與雙曲線的標準方程及簡單性質,考查雙曲線的離心率公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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