Question

10．已知函數f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）討論f（x）在區間[0，π]上的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦公式，二倍角公式化簡解析式，由三角函數的周期公式求出實數ω的值；
（Ⅱ）由x∈[0，π]求出2x+$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數的單調性，求出f（x）在區間[0，π]上的單調性．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=4cosωxsin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx
=$\sqrt{2}$（sin2ωx+cos2ωx）+$\sqrt{2}$
=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
所以 T=$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1；
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
因為0≤x≤π，所以$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{9π}{4}$，
當$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{9π}{4}$時，
即0≤x≤$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$≤x≤π時，f（x）是增函數，
當$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$時，即$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}$時，f（x）是減函數，
所以f（x）在區間[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]上單調遞增，
在區間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上單調遞減．

點評 本題考查了正弦函數的性質，三角恒等變換，以及三角函數的周期公式的應用，考查整體思想，化簡、計算能力，常考題型．