Question

已知函數（m，n為常數，…是自然對數的底數），曲線在點處的切線方程是．

（1）求m，n的值；

（2）求的單調區間；

（3）設（其中為的導函數），證明：對任意，．

 

Answer 1

（1）m＝n＝2；（2）增區間是（0，1），減區間是（1，＋∞）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）曲線y＝f（x）在點（1,f（1））處的切線方程是y＝，表明f（1）＝，且f '（1）＝0，得到方程組，求出m，n的值；（2）結合（1），進一步討論f '（x）的符號，確定f（x）的單調區間；（3）將轉換為，證明1－x－xlnx≤且即可.

試題解析：（1）由得（）．

由已知得，解得m＝n．

又，即n＝2，

∴ m＝n＝2．

（2）由 （1）得，

令，，

當x∈（0，1）時，p（x）；當x∈（1，＋∞）時，p（x）＜0，

又，所以當x∈（0，1）時，f '（x）＞0； 當x∈（1，＋∞）時，f '（x）＜0，

∴ f（x）的單調增區間是（0，1），f（x）的單調減區間是（1，＋∞）．……8分

（3）證明：由已知有，，

于是對任意x＞0， 等價于，

由（2）知，，

∴ ，．

易得當時，，即單調遞增；

當時，，即單調遞減．

所以p（x）的最大值為，故≤．

設，則，

因此，當時，單調遞增，．

故當時，，即．

∴ ≤＜．

∴ 對任意x＞0，．

考點：利用導數研究函數性質，不等式