Question

設函數f(x)=

1，     x＞0 0，     x=0 -1，   x＜0

，若g（x）=（x-2）²f（x-1），y=g（x）的反函數y=g^-1（x），則g（3）•g^-1（1）的值為（　　）

A．-3

B．-1

C．1

D．3

Answer 1

分析：f（x）為分段函數，要求g（3）•g^-1（1）可以先求g（3），代入g（x）=（x-2）²f（x-1），根據分段函數的性質即可求得，再求g^-1（1）相當于求方程（x-2）²f（x-1）=1，求出x的值；

解答：解：∵函數f(x)=

1，     x＞0 0，     x=0 -1，   x＜0

，若g（x）=（x-2）²f（x-1），
∴g（3）=（3-2）²f（2）=f（2）=1；
要求g^-1（1），y=g（x）的反函數y=g^-1（x），
∴可得方程（x-2）²f（x-1）=1，
當x=1時，f（x-1）=f（0）=0，顯然不可能；（x-2）²≥0，∴f（x-1）≠-1，即x≥0
若（x-2）²=1，可得x=3或x=1（舍去），
當x=3時，（3-2）²f（2）=1，滿足，∴g^-1（1）=3，
∴g（3）•g^-1（1）=3，
故選D；

點評：此題主要考查函數的值的求法以及反函數的定義，難度中等，考查的知識點比較全面，是一道好題；