Question

11．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）．
（1）若f（x）的部分圖象如圖所示，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求最小正實數m，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數是偶函數；
（3）若f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是單調遞增函數，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）的部分圖象，求出A、T、ω和φ的值，即可寫出f（x）的解析式；
（2）根據函數圖象平移法則，寫出f（x）左移m個單位后的函數解析式，根據函數y是偶函數，求出m的最小正數；
（3）根據f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是單調遞增函數，得出-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{3}$ω+φ≤$\frac{π}{2}$，求出ω≤$\frac{3}{2}$-$\frac{3φ}{π}$，再根據φ的取值范圍求出ω的最大值．

解答 解：（1）根據函數f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，\
A=3，$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2；
根據五點法畫圖知，2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，
解得φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），函數f（x）的圖象向左平移m個單位后，
所對應的函數是y=3sin[2（x+m）-$\frac{π}{6}$]=3sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）的圖象，
又函數y是偶函數，
∴2m-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得m=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴m的最小正數是$\frac{π}{3}$；
（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，$\frac{π}{3}$]上是單調遞增函數，
A＞0，ω＞0，
∴-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{3}$ω+φ≤$\frac{π}{2}$，
解得ω≤$\frac{3}{2}$-$\frac{3φ}{π}$；
又-π＜φ＜0，
∴-$\frac{π}{2}$≤φ＜0，
∴0＜-$\frac{3φ}{π}$≤$\frac{3}{2}$，
∴ω≤$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3，
即ω的最大值為3．

點評 本題考查了正弦型函數的圖象與性質的應用問題，也考查了數形結合思想，是綜合題．