Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，等比數列{b_n}的前n項和為T_n，已知數列{b_n}的公比為q（q＞0），a₁=b₁=1，S₅=45，T₃=a₃-b₂．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求

q

a1a2

+

q

a2a3

+…+

q

anan+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則S₅=45可求d，進而可求通項 a_n； 由T₃=a₃-b₂，利用等比數列的通項公式及q＞0，從而可求q進而可求b_n
Ⅱ）

q

anan+1

=

2

anan+1

=

d

2anan+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+1

)，從而可利用裂項求和

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則S₅=5+10d=45．             
解得d=4，所以a_n=4n-3．                 …（4分）
由T₃=a₃-b₂，得1+q+q²=9-q，又q＞0，從而解得q=2，所以b_n=2^n-1．       …（8分）
（Ⅱ）

q

anan+1

=

2

anan+1

=

d

2anan+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+1

)．  …（10分）
所以M=

q

a1a2

+

q

a2a3

+…+

q

anan+1

=

1

2

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)
=

1

2

(

1

a1

-

1

an+1

)=

1

2

(1-

1

4n+1

)=

2n

4n+1

．                           …（14分）

點評：本題考查了等差與等比數列的綜合計算，這是高考在數列部分的最基本是試題類型，裂項求和是數列求和中的重要方法，但要注意裂項時等式右面的系數不是1時是容易出現錯誤的地方．