Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=pⁿ+q，則“q=-1”是“數列{a_n}為等比數列”的（　　）

A．必要不充分條件

B．充分不必要條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：先求出a₁的值，再由n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1進而可判定n≥2時，{a_n}是等比數列，最后再驗證當n=1時q=-1時可滿足，{a_n}是等比數列，從而{a_n}是等比數列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1；反之，q=-1時，當p=0或p=-1時，{a_n}不是等比數列；利用充要條件的定義得到結論．

解答：證明：當n=1時，a₁=S₁=p+q；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
由于p≠0，p≠1，
∴當n≥2時，{a_n}是等比數列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比數列，
則

a2

a1

=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，
即{a_n}是等比數列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1．
反之，q=-1時，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，
當p=0或p=-1時，{a_n}不是等比數列
所以“q=-1”是“數列{a_n}為等比數列”的必要不充分條件．

點評：本題主要考查等比數列的充要條件，考查基礎知識的綜合運用．