Question

如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=，一條準線的方程是x=，
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)設(shè)動點P滿足：，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為。問：是否存在定點F，使得|PF|與點P到直線l：x=的距離之比為定值？若存在，求F的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)∵，，解得a=2，c=，
∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓的標準方程為；
(Ⅱ)設(shè)P(x，y)，，
則由，得，
∴x=，y=，
∵M，N在橢圓上，
∴，
∴
，
設(shè)分別表示直線OM，ON的斜率，
由題設(shè)條件知，，
∴，
∴=20，
∴點P在橢圓上，
該橢圓的右焦點為F(，0)，離心率e=，右準線為l：x=2，
∴根據(jù)橢圓的第二定義，存在定點F(，0)，使得|PF|與點P到直線l的距離之比為定值。