Question

已知△ABC的面積滿足，且•=6，
（Ⅰ）求f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B的值域；
（Ⅱ）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由三角形面積和數量積公式，聯解可得，結合得tanB∈[-1，-]，從而，再化簡函數f（B）=2+sin（2B+），結合三角函數的圖象與性質，可得函數f（B）的值域；
（II）由已知得向量、都是單位向量，將平方化簡得=13-12sinB，結合角B的取值范圍則不難得到的取值范圍，進而可得到的取值范圍．
解答：解（I）由，得2S=acsinB
因為，所以-6=accosB
∴，
結合，得，
由角B為三角形內角可知，…（2分）．
∵f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B=…（4分）
∵，函數f（B）在區間[，]上為增函數
∴當B=時，函數有最小值為2+sin=1；當B=時，函數有最大值為2+sin=
由此可得…（6分）．
（II）由可知：．…（8分）．
∵A+B+C=π，∴A+C=π-B，得sin（A+C）=sinB
因此，…（10分）
∵，∴sinB∈[，]
由此可得：，得到…（12分）．
點評：本題以平面向量的數量積運算為載體，求關于B的函數的值域和向量模長的取值范圍，著重考查了平面向量數量積的運算公式、兩角和與差的正弦函數和向量的模公式等知識，屬于中檔題．