Question

已知△ABC的面積滿足

3

≤S≤3，且

AB

•

BC

=6，
（Ⅰ）求f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B的值域；
（Ⅱ）若

p

=(sinA，cosA)，

q

=(cosC，sinC)，求|2

p

-3

q

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由三角形面積和數量積公式，聯解可得tanB=-

S

3

，結合

3

≤S≤3得tanB∈[-1，-

3

3

]，從而

3π

4

≤B≤

5π

6

，再化簡函數f（B）=2+

2

sin（2B+

π

4

），結合三角函數的圖象與性質，可得函數f（B）的值域；
（II）由已知得向量

p

、

q

都是單位向量，將|2

p

-3

q

|平方化簡得|2

p

-3

q

|2=13-12sinB，結合角B的取值范圍則不難得到|2

p

-3

q

|2的取值范圍，進而可得到|2

p

-3

q

|的取值范圍．

解答：解（I）由S=

1

2

acsinB，得2S=acsinB
因為

AB

•

BC

=-accosB=6，所以-6=accosB
∴tanB=

acsinB

accosB

=

2S

-6

=-

S

3

，
結合

3

≤S≤3，得-1≤tanB≤-

3

3

，
由角B為三角形內角可知，

3π

4

≤B≤

5π

6

…（2分）．
∵f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B=1+sin2B+1+cos2B=2+

2

sin(2B+

π

4

)…（4分）
∵

7π

4

≤2B+

π

4

≤

23π

12

，函數f（B）在區間[

3π

4

，

5π

6

]上為增函數
∴當B=

3π

4

時，函數有最小值為2+

2

sin

7π

4

=1；當B=

5π

6

時，函數有最大值為2+

2

sin

23π

12

=

5- 3

2

由此可得f(x)∈[1，

5- 3

2

]…（6分）．
（II）由

p

=(sinA，cosA)，

q

=(cosC，sinC)可知：|

p

|=1，|

q

|=1．…（8分）．
∵A+B+C=π，∴A+C=π-B，得sin（A+C）=sinB
因此，|2

p

-3

q

|2=4

p

2+9

q

2-12

p

•

q

=13-12(sinAcosC+cosAsinC)=13-12sinB…（10分）
∵

3π

4

≤B≤

5π

6

，∴sinB∈[

1

2

，

2

2

]
由此可得：13-6

2

≤|2

p

-3

q

|2≤7，得到|2

p

-3

q

|∈[

13-6 2

，

7

]…（12分）．

點評：本題以平面向量的數量積運算為載體，求關于B的函數的值域和向量模長的取值范圍，著重考查了平面向量數量積的運算公式、兩角和與差的正弦函數和向量的模公式等知識，屬于中檔題．