Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線:的距離為，到點(diǎn)的距離為，且，直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線方程；

（3）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，則，，代入化簡(jiǎn)得；（2）先求得，得到直線的方程，代入橢圓方程求得，進(jìn)而求得直線的方程；（3）直線方程入，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，代入，化簡(jiǎn)得所以直線方程為，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

試題解析：

（1）設(shè)，則， ，

∴，化簡(jiǎn)，得，∴橢圓的方程為.

（2），∴，

又∵，∴，.

代入解，得（舍）∴,

，∴.即直線的方程為.

（3）解法一：∵，∴.

設(shè)，，直線方程為.代直線方程入，得.

∴，，

∴

∴

∴，

∴直線方程為，

直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

解法二：由于，所以關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上.

設(shè)，，，直線方程為.代入，得

.

∴，，

∴，，令，得.

又∵，，

∴.

∴直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn).