Question

【題目】一個幾何體的三視圖如下圖所示，其中主視圖與左視圖是腰長為6的等腰直角三角形，俯視圖是正方形．

（Ⅰ）請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

（Ⅱ）用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A1B1C1D1? 如何組拼？試證明你的結論；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,設正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點為E, 求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直觀圖見解析，；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）體積是；（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的倍，故用個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為的正方體；（Ⅲ）平面與平面所成二面角的余弦值=.

試題解析：本題的構圖方式是通過三視圖來給出，并且更為重視對空間幾何體的認識.

（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面是邊長為6的正方形，高PD=6，故所求體積是.

（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的倍，故用個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為的正方體，即由四棱錐組成。其拼法如圖2所示.

（Ⅲ）因的邊長，，所以，而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為.