Question

【題目】設函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，是否存在整數，使不等式恒成立？若存在，求整數的值；若不存在，則說明理由；

（3）關于的方程在上恰有兩個相異實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）（3）

【解析】試題分析：（1）求函數的定義域、導函數，由， 可求單調區間；（2）由（1）可求函數在上的單調性，進而求最大值、最小值。由不等式恒成立，得 ，解不等式組可求m的范圍；（3）構造函數= ，求其導函數，進而求單調性、最大、最小值，由關于的方程在上恰有兩個相異實根，轉化為，進而不等式組求實數的取值范圍.

試題解析：（1）由得函數的定義域為.

.

由，得；由，得.

∴函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（2）由（1）知， 在上單調遞減，在上單調遞增.∴.

又， ,且，

∴時， .

∵不等式恒成立，

∴，

即

.

∵是整數，∴.

∴存在整數，使不等式恒成立.

（3）由，得.

令， ，則， .

由，得；由得.

∴在上單調遞減，在上單調遞增.

∵方程在上恰有兩個相異實根，

∴函數在和上各有一個零點.

∴

.

∴實數的取值范圍是.