Question

在公差為d（d≠0）的等差數列{a_n}和公比為q（q＞0）的等比數列{b_n}中a₂=b₁=3，a₄=7，b₃=27，
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1+d=3 a1+3d=7

，

b1=3 b1q2=27

，由此能求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由c_n=a_n+b_n=（2n-1）+3ⁿ，利用分組求和法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵在公差為d（d≠0）的等差數列{a_n}和公比為q（q＞0）的等比數列{b_n}中a₂=b₁=3，a₄=7，b₃=27，
∴

a1+d=3 a1+3d=7

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．

b1=3 b1q2=27

，由q＞0，解得q=3，
∴bn=3n． （各得3分）…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=a_n+b_n=（2n-1）+3ⁿ…（7分）
∴T_n=[1+3+…+（2n-1）]+（3+3²+…+3ⁿ）
=

n(1+2n-1)

2

+

3(1-3n)

1-3

=n2+

3

2

(3n-1)．（ 分組得（1分），兩個和各得2分）…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．