Question

某先生居住在城鎮的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車事件的概率，如圖．（ 例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發生堵車事件的概率為，路段CD發生堵車事件的概率為）．
（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發生堵車事件的概率最小；
（2）若記ξ路線A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵車次數為隨機變量ξ，求ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）記路段MN發生堵車事件為MN，根據各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁=1-P（••），同理得路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂=
1-P（••），路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃=1-P（••），然后比較即可；
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數ξ可取值為0，1，2，3，然后利用互斥事件與對立事件的公式分別求出相應的概率，最后利用數學期望公式解之即可．
解答：解：（1）記路段MN發生堵車事件為MN．
因為各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為1-P（••）=1-P（）•P（）•P （）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-=；
同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為
1-P（••）=（小于）；
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為
1-P（••）=（大于）
顯然要使得由A到B的路線途中發生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發生堵車事件的概率最小．
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數ξ可取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（••）=，
P（ξ=1）=P（AC••）+P（•CF•）+P（••FB）
=××+××+××=，
P（ξ=2）=P（AC•CF•）+P（AC••FB）+P（•CF•FB）
=××+××+××=，
P（ξ=3）=P（••）=××=．
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．
答：路線A→C→FB中遇到堵車次數的數學期望為．
點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及對立事件和離散型隨機變量的期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．