Question

已知函數f(x)=

1

2

cos2x+sinxcosx-

1

2

sin2x
（1）求f（x）的最小正周期、對稱軸方程
（2）求f（x）的單調區間
（3）求f（x）在區間[-

π

8

，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方關系，兩角和的正弦函數，化簡函數f(x)=

1

2

cos2x+sinxcosx-

1

2

sin2x，為一個角的一個三角函數的形式，（1）直接求出最小正周期，對稱軸方程
（2）利用正弦函數的單調增區間求出函數的單調增區間．
（3）利用[-

π

8

，

π

2

]求出0≤2x+

π

4

≤

5π

4

，然后求出函數的最值．

解答：解：f(x)=

1

2

cos2x+sinxcosx-

1

2

sin2x=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x=

2

2

sin(2x+

π

4

)
（1）T=

2π

2

=π
由得2x+

π

4

=

π

2

+kπ(k∈Z)∴對稱軸為x=

π

8

+

1

2

kπ(k∈Z)
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)
∴f（x）的單調增區間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ](k∈Z)，
單調減區間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ](k∈Z)
（3）∵x∈[-

π

8

，

π

2

]∴-

π

4

≤2x≤π，則0≤2x+

π

4

≤

5π

4

當2x+

π

4

=

π

2

即x=

π

8

時，f（x）有最大值

2

2

當2x+

π

4

=

5π

4

即x=

π

2

時，f（x）有最小值-

1

2

點評：題考查三角函數的最值，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，考查計算能力，此類題目的解答，關鍵是基本的三角函數的性質的掌握熟練程度，是中檔題．