Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)圓過(guò)，且圓心在曲線(xiàn)上，是圓在軸上截得的弦，試探究當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)是否為定值？為什么？

Answer 1

（1）曲線(xiàn)方程是
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)為定值4

（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線(xiàn)的距離，曲線(xiàn)是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)………………………………2分
　　　　∵     ∴　
∴　曲線(xiàn)方程是………4分
（2）設(shè)圓的圓心為，∵圓過(guò)，
∴圓的方程為　　……………………………7分
令得：　　
設(shè)圓與軸的兩交點(diǎn)分別為，
方法1：不妨設(shè)，由求根公式得
，…………………………10分
∴
又∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，
∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)為定值4…………………………………………………14分
　〔方法2：∵，　
∴
　又∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，∴　　
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)為定值4〕