Question

已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設，，求的最大值．

Answer 1

（1）    （2）當時，的最大值為 

 （1）解：設，則，
∵，
∴．
即，即，
所以動點的軌跡的方程．
（2）解：設圓的圓心坐標為，則．          ①
圓的半徑為．
圓的方程為．
令，則，
整理得，．                            ②
由①、②解得，．
不妨設，，
∴，．
∴ 
，                    ③
當時，由③得，．
當且僅當時，等號成立．
當時，由③得，．
故當時，的最大值為．