Question

如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°，
（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
（2）求cos∠COD．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面平行的判定與性質，可證平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
（2）先作出OP與平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．
解答：（1）證明：設平面PAB與平面PCD的交線為l，則
∵AB∥CD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD
∵AB?面PAB，平面PAB與平面PCD的交線為l，∴AB∥l
∵AB在底面上，l在底面外
∴l與底面平行；
（2）解：設CD的中點為F，連接OF，PF
由圓的性質，∠COD=2∠COF，OF⊥CD
∵OP⊥底面，CD?底面，∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD?平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直線OP在平面PCD上的射影為直線PF
∴∠OPF為OP與平面PCD所成的角
由題設，∠OPF=60°
設OP=h，則OF=OPtan∠OPF=
∵∠OCP=22.5°，∴
∵tan45°==1
∴tan22.5°=
∴OC==
在Rt△OCF中，cos∠COF===
∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos²∠COF-1=17-12
點評：本題考查線面平行的判定與性質，考查空間角，考查學生的計算能力，正確找出線面角是關鍵．