Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在．

（1）若直線過原點(diǎn)，求證：為定值；

（2）若直線不過原點(diǎn)，且，試探究是否為定值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），詳見解析

【解析】

（1）設(shè)，，由橢圓對(duì)稱性得，把點(diǎn)，的坐標(biāo)都代入橢圓得到兩個(gè)方程，再相減，得到兩直線斜率乘積的表達(dá)式；

（2）設(shè)，，，則，由得：，進(jìn)而得到直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后整體代入消元，得到為定值.

（1）當(dāng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，由橢圓對(duì)稱性得，

則．

∵，都在橢圓上，∴，，

兩式相減得：，即．

故．

（2）設(shè)，，，則，∵，

∴，設(shè)直線的方程為()，

聯(lián)立方程組消去，

整理得．

∵在橢圓上，∴，

上式可化為．

∴，，

∴，

，

，

∴

；

．

∴（定值）．