Question

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B，C在平面α的同一側，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：構建如圖的三角形，不妨令正三角形的邊長為1，設出B，C到面的距離，則DG的長度為兩者和的一半，下研究DG的取值范圍即可．
解答：解：設正△ABC邊長為1，則線段AD=
設B，C到平面α距離分別為a，b，
則D到平面α距離為h=
射影三角形兩直角邊的平方分別為1-a²，1-b²，
設線段BC射影長為c，則1-a²+1-b²=c²，（1）
又線段AD射影長為，
所以（）²+=AD²=，（2）
由（1）（2）聯立解得 ab=，
所以sinα==≥==，當a=b=時等號成立．
又α是個銳角，當面與面接近于垂直時，等邊三角形的射影不可能是直角三角形，正弦值不可能趨近于1，故只能選B．
故選B
點評：考查線面角的求法，本題在做題中，線面角正弦的最小值易求出，而上界不易界定，此時宜根據選項用排除法篩選．