Question

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是（　　）

• A、[

  6

  3

  ，1)
• B、[

  6

  3

  ，

  3

  2

  )
• C、[

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• D、(

  1

  2

  ，

  6

  3

  ]

Answer 1

分析：構(gòu)建如圖的三角形，不妨令正三角形的邊長為1，設(shè)出B，C到面的距離，則DG的長度為兩者和的一半，下研究DG的取值范圍即可．

解答：解：設(shè)正△ABC邊長為1，則線段AD=

3

2

設(shè)B，C到平面α距離分別為a，b，
則D到平面α距離為h=

a+b

2

射影三角形兩直角邊的平方分別為1-a²，1-b²，
設(shè)線段BC射影長為c，則1-a²+1-b²=c²，（1）
又線段AD射影長為

c

2

，
所以（

c

2

）²+

(a+b) 2

4

=AD²=

3

4

，（2）
由（1）（2）聯(lián)立解得 ab=

1

2

，
所以sinα=

h

AD

=

a+b

3

≥

2 ab

3

=

2

3

=

6

3

，當(dāng)a=b=

2

2

時等號成立．
又α是個銳角，當(dāng)面與面接近于垂直時，等邊三角形的射影不可能是直角三角形，正弦值不可能趨近于1，故只能選B．
故選B

點評：考查線面角的求法，本題在做題中，線面角正弦的最小值易求出，而上界不易界定，此時宜根據(jù)選項用排除法篩選．