Question

【題目】對于定義在上的函數，若存在實數及、（）使得對于任意 都有成立，則稱函數是帶狀函數；若存在最小值，則稱為帶寬.

（1）判斷函數 是不是帶狀函數？如果是，指出帶寬（不用證明）；如果不是，請說明理由；

（2）求證：函數（）是帶狀函數；

（3）求證：函數是帶狀函數的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）是，帶寬為2；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據函數關系，即可判定是帶狀函數；

（2）分別證明即可得證；

（3）處理絕對值，將函數寫成分段函數形式，分別證明充分性和必要性.

（1）考慮兩條直線，即： ，

斷函數 是帶狀函數，帶寬為2；

（2）函數（），

當時，所以有，有，

當時，，即

所以有，所以，

綜上所述，

所以函數（）是帶狀函數；

（3）函數，

充分性：當時，，

，存在兩條直線滿足題意，即該函數為帶狀函數；

必要性：當為帶狀函數，

則存在，

假設

不妨考慮，

則直線與兩條直線中至少一條相交，所以不滿足，

所以不滿足題意.即，

綜上所述：函數是帶狀函數的充要條件是.