Question

已知函數f（x）=（x-k）e^x．
（Ⅰ）若k=1，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求在x=1處的導數得到切線的斜率，然后求出切點坐標，根據點斜式方程可求出切線方程；
（Ⅱ）求導，令f′（x）=0，得x=k-1，對k-1是否在區間[0，1]內進行討論，從而求得f（x）在區間[0，1]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=xe^x，
∴f'（1）=e，而f（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程為：y-0=e（x-1）即y=ex-e；
（Ⅱ）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
當k-1≤0，即k≤1時，函數f（x）在區間[0，1]上單調遞增，
∴f（x）在區間[0，1]上的最小值為f（0）=-k；
當0＜k-1＜1，即1＜k＜2時，由（I）知，f（x）在區間[0，k-1]上單調遞減，f（x）在區間（k-1，1]上單調遞增，
∴f（x）在區間[0，1]上的最小值為f（k-1）=-e^k-1；
當k-1≥1，即k≥2時，函數f（x）在區間[0，1]上單調遞減，
∴f（x）在區間[0，1]上的最小值為f（1）=（1-k）e；
綜上所述f（x）_min=

-k，k≤1 -ek-1，1＜k＜2 (1-k)e，k≥2

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點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性和在閉區間上的最值問題，對方程f'（x）=0根是否在區間[0，1]內進行討論，體現了分類討論的思想方法，增加了題目的難度．屬于中檔題．