Question

（2012•安徽模擬）2011年3月20日，第19個世界水日，主題是：“城市水資源管理”；2011年“六•五”世界環(huán)境日中國主題：“共建生態(tài)文明，共享綠色未來”．活動組織者為調查市民對活動主題的了解情況，隨機對10～60歲的人群抽查了n人，調查的每個人都同時回答了兩個問題，統(tǒng)計結果如下：

	世界環(huán)境日中國主題		世界水日主題
	回答正確人數(shù)	占本組人數(shù)頻率	回答正確人數(shù)	占本組人數(shù)頻率
[10，20）	30	a	30	0.5
[20，30）	48	0.8	30	0.5
[30，40）	36	0.6	48	0.8
[40，50）	20	0.5	24	b
[50，60]	12	0.6	10	0.5

（Ⅰ）若以表中的頻率近似看作各年齡段回答活動主題正確的概率，規(guī)定回答正確世界環(huán)境日中國主題的得20元獎勵，回答正確世界水日主題的得30元獎勵．組織者隨機請一個家庭中的兩名成員（大人42歲，孩子16歲）回答這兩個主題，兩個主題能否回答正確均無影響，分別寫出這個家庭兩個成員獲得獎勵的分布列并求該家庭獲得獎勵的期望；
（Ⅱ）求該家庭獲得獎勵為50元的概率．

Answer 1

分析：（I）依題意：在[10，20）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國主題”的人數(shù)與“世界水日”的人數(shù)相同，故a=0.5．在[40，50）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國主題”的人數(shù)=

20

0.5

=40，“世界水日”的頻率b=

24

40

．
設孩子獲得獎勵為ξ，大人獲得獎勵為η，則ξ，η為隨機變量，其ξ分布列P（ξ=0）=（1-0.5）×（1-0.5）=0.25，P（ξ=20）=0.5×（1-0.5）=0.25，P（ξ=30）=（1-0.5）×0.5=0.25，P（ξ=50）=0.5×0.5=0.25．即可得出其分布列．同理得出η的分布列．再利用數(shù)學期望的計算公式即可得出．
（II）由ξ，η的分布列即可得出．

解答：解：（1）依題意：在[10，20）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國主題”的人數(shù)與“世界水日”的人數(shù)相同，故a=0.5．
在[40，50）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國主題”的人數(shù)=

20

0.5

=40，“世界水日”的頻率b=

24

40

=0.6．
設孩子獲得獎勵為ξ，大人獲得獎勵為η，則ξ，η為隨機變量，其分布列分別為：所以其分布列為：

ξ	0	20	30	50
P（ξ）	0.25	0.25	0.25	0.25

η	0	20	30	50
P（η）	0.2	0.2	0.3	0.3

數(shù)學期望為：Eξ=25，Eη=28．
該家庭獲得獎勵的期望EX=Eξ+Eη=53．
（2）P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25

點評：本題考查了隨機變量的分布列及其數(shù)學期望的計算方法，屬于中檔題．