Question

已知x＞－1且x≠0，n∈N^*，且n≥2，求證：(1＋x)ⁿ＞1＋nx．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2， 　　∵x≠0， 　　∴1＋2x＋x2＞1＋2x，∴左邊＞右邊，不等式成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立， 　　則當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝(1＋x)k+1＝(1＋x)k(1＋x)． 　　∵x＞－1，∴1＋x＞0．∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2．∵x≠0， 　　∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x． 　　∴(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x成立， 　　即當(dāng)n＝k＋1時不等式成立． 　　由(1)(2)可知，不等式對于所有的n≥2都成立． 　　思路分析：本題為與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，可用數(shù)學(xué)歸納法證明；在證明時可結(jié)合不等式的性質(zhì)加以變形．