Question

已知x，y∈R．
（I）若x＞0，y＞0且

1

x

+

4

y

=1，求x+y的最小值；
（II）若f(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

，求不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集．

Answer 1

分析：（I）利用“1”的代換，結合基本不等式，即可求出x+y的最小值；
（II）確定f(x+2)=

1，x≥-2 -1，x＜-2

，再分類討論，即可得到結論．

解答：解：（I）因為

1

x

+

4

y

=1，所以x+y=(x+y)(

1

x

+

4

y

)=5+

y

x

+

4x

y

又因為x＞0，y＞0，所以

y

x

+

4x

y

≥2

y x • 4x y

=4
當且僅當

y

x

=

4x

y

，即y=2x，即x=3，y=6時，等號成立
所以當x=3，y=6時，x+y取最小值9（5分）
（II）因為f(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

，所以f(x+2)=

1，x≥-2 -1，x＜-2

當x≥-2時，不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5轉化為x+（x+2）•1≤5解得-2≤x≤

3

2

當x＜-2時，不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5轉化為x+（x+2）•（-1）≤5解得x＜-2
綜上不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集為{x|x≤

3

2

}（11分）

點評：本題考查基本不等式的運用，考查不等式的解法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．