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揚州某地區要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設計其橫斷面要求面積為平方米,且高度不低于米.記防洪堤橫斷面的腰長為(米),外周長(梯形的上底線段與兩腰長的和)為(米).

⑴求關于的函數關系式,并指出其定義域;
⑵要使防洪堤橫斷面的外周長不超過米,則其腰長應在什么范圍內?
⑶當防洪堤的腰長為多少米時,堤的上面與兩側面的水泥用料最省(即斷面的外周長最小)?求此時外周長的值.

(1);(2);(3)外周長的最小值為米,此時腰長為米.

解析試題分析:(1)將梯形高、上底和下底用表示,根據梯形面積的計算得到的等式,從而解出,使問題得以解答,但不要忘記根據題目條件確定函數的定義域;(2)由(1)可得,解這個不等式的同時不要忽略了函數的定義域就可得到結果;(3)即求(1)中函數的最小值,可以用導數判斷函數的單調性后再求解,也可利用基本不等式求最小值.
試題解析:⑴,其中
,得,   由,得
;                              6分
 ∴腰長的范圍是   10分
,當并且僅當,即時等號成立.
∴外周長的最小值為米,此時腰長為米。            16分
考點:函數的應用、基本不等式、函數的最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數是定義在上的偶函數,當時,
(1)求的函數解析式,并用分段函數的形式給出;
(2)作出函數的簡圖;
(3)寫出函數的單調區間及最值.

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已知函數).
(1)求的單調區間;
(2)如果是曲線上的任意一點,若以為切點的切線的斜率恒成立,求實數的最小值;
(3)討論關于的方程的實根情況.

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某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發建設,陰影部分為一公共設施建設不能開發,且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上),公共設施邊界為曲線的一部分,欄柵與矩形區域的邊界交于點,交曲線于點,設

(1)將△為坐標原點)的面積表示成的函數
(2)若在處,取得最小值,求此時的值及的最小值.

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已知函數.
(1)當時,畫出函數的簡圖,并指出的單調遞減區間;
(2)若函數有4個零點,求a的取值范圍.

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已知函數
(1)若函數在區間上存在零點,求實數的取值范圍;
(2)問:是否存在常數,當時,的值域為區間,且的長度為.

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已知函數,其中
(1)寫出的奇偶性與單調性(不要求證明);
(2)若函數的定義域為,求滿足不等式的實數的取值集合;
(3)當時,的值恒為負,求的取值范圍.

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是同時符合以下性質的函數組成的集合:
,都有;②上是減函數.
(1)判斷函數()是否屬于集合,并簡要說明理由;
(2)把(1)中你認為是集合中的一個函數記為,若不等式對任意的總成立,求實數的取值范圍.

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已知函數.
(I)求函數的單調區間;
(Ⅱ)當時,函數恒成立,求實數的取值范圍;
(Ⅲ)設正實數滿足,求證:

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