Question

2．為了檢測某種水果的農藥殘留，要求這種水果在進入市場前必須對每箱水果進行兩輪檢測，只有兩輪檢測都合格水果才能上市銷售，否則不能銷售．已知每箱這種水果第一輪檢測不合格的概率為$\frac{1}{9}$，第二輪檢測不合格的概率為$\frac{1}{10}$，每輪檢測結果只有“合格”、“不合格”兩種，且兩輪檢測是否合格相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求每箱水果不能上市銷售的概率；
（Ⅱ）如果這種水果可以上市銷售，則每箱水果可獲利20元；如果這種水果不能上市銷售，則每箱水果虧損30元（即獲利為-30元）．現有這種水果4箱，記這4箱水果獲利的金額為X元，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“每箱水果不能上市銷售”為事件A，即兩箱都不合格，由對立事件的概率公式可知：P（A）=1-（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{5}$；
（Ⅱ）可知X的取值為：-120，-70，-20，30，80，然后根據n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式分別求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．

解答 解：（Ⅰ）記“每箱水果不能上市銷售”為事件A，即兩箱都不合格，
由對立事件的概率公式可知：P（A）=1-（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{5}$，
所以每箱水果不能上市銷售的概率為$\frac{1}{5}$．…（3分）
（Ⅱ）由已知，可知X的取值為：-120，-70，-20，30，80．…（4分）
P（X=-120）=${C}_{4}^{4}$（$\frac{1}{5}$）⁴（$\frac{4}{5}$）⁰=$\frac{1}{625}$，
P（X=-70）=${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{5}$）³（$\frac{4}{5}$）¹=$\frac{16}{625}$，
P（X=-20）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{1}{5}$）²（$\frac{4}{5}$）²=$\frac{96}{625}$，
P（X=30）=${C}_{4}^{1}$（$\frac{1}{5}$）¹（$\frac{4}{5}$）³=$\frac{256}{625}$，
P（X=80）=${C}_{4}^{0}$（$\frac{1}{5}$）⁰（$\frac{4}{5}$）⁴=$\frac{256}{625}$．…（9分）
所以X的分布列為：

X	-120	-70	-20	30	80
P	$\frac{1}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$

…（10分）
E（X）=-120×$\frac{1}{625}$-70×$\frac{16}{625}$-20×$\frac{96}{625}$+30×$\frac{256}{625}$+80×$\frac{256}{625}$=40，
∴X的數學期望為40元．…（12分）

點評 本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，以及離散型隨機變量的概率分別和數學期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．